Arakelovgeometrie

Lineare Algebra II (BSc.) Winter 2018

Dies ist die Homepage für die Vorlesung Lineare Algebra II (BSc) im Wintersemester 2018-2019 in Mainz.

Prüfung:

Es wird eine mündliche Prüfung geben. Weitere Information folgen.

Dozent: Ariyan Javanpeykar

Vorlesung:

Dienstag 16h-18h, Newton Raum, 01-122

Donnerstag 8h-10h, 05-426.

Übungsgruppen:

Alexander Endlich, Montag, 12h-14h. Raum 04-422

Maximilian Preisinger, Mittwoch, 8h-10h. Raum 04-422.

Melden Sie sich bitte für die Übungsgruppen im READER an.

Literatur

  1. Theo de Jong's Buch über Lineare Algebra. Link
  2. Stoll's LAG 2 Skript
  3. Stix's LAG Skript

Extra Literatur

  1. Stix: Algebra
  2. Stix: Geometrie.

Das beste Skript ist eine Mitschrift in der Vorlesung.

Hausaufgaben

Jedes Übungsblatt besteht aus genau drei Hausaufgaben mit je 4 Punkten.

Um für die Klausur zugelassen zu werden, müssen Sie insgesamt mindestens 84 Punkte erreichen. (Total = 14x12 =168). Sie müssen auch Drei der Vier Kurztests bestehen.

  1. Abgabe Oktober 26.     Blatt 1
  2. Abgabe November 2.   Blatt 2
  3. Abgabe November 9.   Blatt 3
  4. Abgabe November 16. Blatt 4
  5. Abgabe November 23. Blatt 5
  6. Abgabe November 30. Blatt 6
  7. Abgabe December 7.   Blatt 7
  8. Abgabe December 14. Blatt 8
  9. Abgabe December 21. Blatt 9
  10. Abgabe Januar 11.      Blatt 10
  11. Abgabe Januar 18.     Blatt 11
  12. Abgabe Januar 25.     Blatt 12
  13. Abgabe Februar 1.     Blatt 13
  14. Abgabe Februar 8.     Blatt 14
  15. Abgabe Februar 15.   Blatt 15

Kurztests

Es wird vier Kurztests geben. Sie müssen für die Prüfungszulassung mindestens drei der vier bestehen.

  1. Test 1: Dienstag November 6 Test 1
  2. Test 2: Donnerstag Dezember 6 test2
  3. Test 3: Donnerstag Januar 17
  4. Test 4: Donnerstag. Februar 14.

Plan der Vorlesung

  1. Di. Okt. 16. Einleitung. Motivierendes Beispiel. Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit (definition). Matrix A in Mat_n(R) is diagonalisierbar genau dann wenn R^n basis von Eigenvektoren hat.
  2. Do. Okt. 18. Charakteristisches Polynom. Fundamentalsatz der Algebra (ohne Beweis). Trigonalisierbarkeit (definition). Endomorphismus phi is trigonalisierbar genau dann wenn charakteristisches polynom zerfällt in linearfaktoren.
  3. Di. Okt. 23. Nilpotente endomorphismen. Charakterisierung von nilpotente endomorphismen. Wenn eine (n x n)-Matrix A genau n verschiedene Eigenwerte hat, dann ist A diagonalisierbar. Cayley-Hamilton. Beweis 1 von Cayley-Hamilton mit hilfe von Satz aus der Algebra (jede Korper hat eine "algebraische abschluss").
  4. Do. Okt. 25. Teilung mit Rest für Polynome. Geometrische und Algebraische Vielfachkeiten. Minimalpolynom von (phi, v). Zweites beweis von Cayley-Hamilton.
  5. Di. Okt. 30. Minimalpolynom. Spaltungssatz. Diagonalisierbarkeit. Beispiele.
  6. Di. Nov. 6. KURZTEST 1. Hauptraumen.
  7. Do. Nov 8. Jordan Normalform, I.
  8. Di. Nov. 13. Jordan Normalform, II. PageRank motivation.
  9. Do. Nov. 15. Mengenlehre. Kardinalzahlen. Auswahlaxiom.
  10. Di. Nov. 20. Mengenlehre. Zornscher Lemma. Jeder Vektorraum hat eine Basis.
  11. Do. Nov. 22. Skalarproduktraum hat eine ONB.
  12. Di. Nov. 27. Orthogonale projektion. Orthogonale und unitäre Abbildungen.
  13. Do. Nov. 29. Spektralsatz fur unitäre Abbildungen. Fussballsatz.
  14. Di. Dez. 4. Spektralsatz fur orthogonale Abbildungen. Gram-Schmidt Verfahren. Adjungierte Abbildung.
  15. Do. Dez. 6. KURZTEST 2 Adjungierte abbildung
  16. Di. Dez 11. -
  17. Do. Dez. 13. Spektralsatz für normale endomorphismen.
  18. Di. Dez. 18. Hauptachsentransformation, I
  19. Di. Jan. 8. Hauptachsentransformation, II
  20. Do. Jan. 10. -
  21. Di. Jan. 15. Der Dualraum
  22. Do. Jan. 17. Der Dualraum KURZTEST 3
  23. Di. Jan. 22. Quotienten, Summen, Tensorprodukte.
  24. Do. Jan 24. Tensorprodukte.
  25. Di. Jan. 29. Untergruppen, Zyklische Gruppen, Homomorphismen, Isomorphismen, Ordnung, Kleinscher Vierergruppe (die Raute, Zahlentheorie, und Z/2Z x Z/2Z), S_n ={Symmetrien auf n Elementen}
  26. Do. Jan. 31 Kern und Bild, Nebenklassen, Satz von Lagrange,
  27. Di. Feb. 5. Isomorphiesatz, Normale Untergruppen. Klassifikation Zyklische Gruppen.
  28. Do. Feb 7. Untergruppen von Z, Ordnungen und Homomorphismen, #Hom(Z/m,Z/n) = ggT(m,n), Chinesischer Restsatz Z/mn = Z/m x Z/n, Satz. Wenn H,H' Untergruppen von abelsche Gruppe A mit H\cap H'=0 und H+H' = A, dann ist H x H' = A.
  29. Di. Feb. 12. Anwendung "Kriterium". Kurz Exakte Sequenzen. Elementarteilersatz fur endliche Gruppen
  30. Do. Feb. 14 Elementarteilersatz fur endlich erzeugte abelsche Gruppen.

Themen der Vorlesung

  • Eigenwerte, Eigenvektoren und charakteristisches Polynom.
  • Jordan Normalform,
  • Euklidische und unitäre Vektorräume.
  • Auswahlaxiom, Zornsches Lemma, Kardinalzahlen.
  • Unendlich-dimensionale Vektorräume und Dualität.
  • Struktursatz für endlich erzeugte Abelsche Gruppen.
Veröffentlicht am

Philipp Licht

I am a graduate student in Mainz. I study integral points on the moduli space of Fano varieties.
My supervisor is Ariyan Javanpeykar.

 

Papers/Preprints

1. Finiteness theorems for complements of large divisors  (arXiv)
Submitted.

2. Infinitesimal Torelli for weighted complete intersections and certain Fano threefolds (arXiv)
Submitted.

3. Hyperbolicity of the moduli of certain Fano threefolds (arXiv)
Submitted.

 

 

 

Veröffentlicht am

Dr. Robert Wilms

Papers

The family of ternary cyclotomic polynomials with one free prime. (arxiv, journal)
Involve 4 (2011), no. 4, 317–341.

New explicit formulas for Faltings' delta invariant. (arxiv, journal)
Invent. math. (2017) Vol. 209, no. 2, 481-539.

Some differential equations for the Riemann θ-function on Jacobians. (arxiv)
Preprint, arXiv:1811.10476.

On arithmetic intersection numbers on self-products of curves. (arxiv)
Preprint, arXiv:1903.12159.

Teaching/Lehre

  1. Ubung "Computeralgebra". Teacher: Theo de Jong, Summer 2016.
  2. Ubungsleiter "Lin. Algebra und Geometrie II (BSc)". Teacher: Ariyan Javanpeykar, Winter 2016/17.
  3. Ubungsleiter "Algebra II". Teacher: Ariyan Javanpeykar, Summer 2017. (Typed notes: Der Hilbertsche Nullstellensatz, Der Krullsche Hauptidealsatz)
  4. Ubungsleiter "Algebra II". Teacher: Moritz Groth, Summer 2018.
  5. Übung "Zahlentheorie". Teacher: Axel Stäbler, Winter 2018/19.

Seminars

  1. Derived categories in algebraic geometry. University of Mainz. Winter 2016.

Ph.D. Thesis

Master Thesis

Bachelor Thesis

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Arakelov Geometrie

 

In 1974 Arakelov introduced an intersection pairing for divisors on an arithmetic surface in which one also takes into account contributions coming from complex analysis by using Green's functions on Riemann surfaces. His results were extended by Faltings in a 1983 paper entitled Calculus on Arithmetic Surfaces.

The papers of Arakelov and Faltings constitute the beginning of Arakelov theory and were conceived with the aim of studying rational points on curves of genus at least two. Faltings later proved his famous theorem (formely Mordell's conjecture) which states that the set of rational points on a smooth projective curve of genus at least two over a number field is finite by using ideas from Arakelov theory.

The initial motivation came from Parshin's proof of the function field analogue of Mordell's conjecture. This proof was achieved by using classical intersection theory on algebraic surfaces fibred over curves. The aim of Arakelov's and Faltings's work was to prove the Mordell conjecture (over number fields) using similar methods. This required introducing an intersection pairing on arithmetic surfaces taking into account the archimedean places which was achieved by Arakelov by considering metrized line bundles.

Thereafter, Arakelov theory was proven to be ubiquitous in the study of heights of points on varieties, forming a part in the proof of Bogomolov's conjecture on small points on abelian varieties given by Szpiro, Ullmo and Zhang. Also, quite notably, Vojta's proof of Faltings's theorem (i.e., Mordell's conjecture) relied on the extension of the theory of Arakelov and Faltings to higher-dimensional varieties, which was achieved by Gillet-Soulé in the early nineties.

Nowadays, Arakelov theory has found its way into several parts of mathematics such as tropical geometry, special cycles on Shimura varieties, computational aspects of Galois representations, and algorithmic aspects of computing heights on curves. In our working group, we seek applications of Arakelov theory to arithmetic problems and also investigate its role in the study of hyperbolic algebraic varieties.

 

 

 

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