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Der Eulerkreis ist eine Gruppe historisch interessierter Mathematiker und Mathematikerinnen, die sich mit den Schriften und dem Werk Leonhard Eulers (1707-1783) beschäftigen. The Euler Circle Mainz is a Group of historically interested mathematicians who are interested in Leonhard Euler's (1707-1783) work and writings. Die nachfolgenden Übersetzungen Eulerscher Werke ins Deutsche oder Englische wurden von A. Aycock angefertigt. Wir danken dem Institut für Mathematik für großzügige Unterstützung, welche diese Übersetzungen ermöglichte. The following translations of Euler's work into German or English were prepared by A. Aycock. We wish to thank the Institute of Mathematics for generous support, that made These translations possible. Contact:
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Euler and the Multiplication - Formula for the G-Function
Eine Methode sich der Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuender Kurven zu finden, oder die Lösung des im weitesten Sinn aufgefassten isoperimetrischen Problems
Originaltitel: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti, erstmals publiziert 1744, Nachdruck in "Opera Omnia", Eneström-Nummer E065
Grundlagen des Differentialkalküls, der vollständige Erklärung dieses Kalküls enthält, Teil 1
Originaltitel: "Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, Partis Prioris, erstmals publiziert im Jahre 1755", Nachdruck in "Opera Omnia", Eneström-Nummer E212
Abhandlungen aus Leonhard Eulers "Opera Omnia"*:
E010 - Eine neue Methode unzählige Differentialgleichungen zweiten Grades auf Differentialgleichungen ersten Grades zurückzuführen
E011 - Konstruktion gewisser Differentialgleichungen, die die Trennung der Unbestimmten nicht zulassen
E019 - Über transzendente Progressionen oder deren allgemeine Terme algebraisch nicht gegeben werden können
E019 - On transcendental Progressions or those whose general terms can not be given algebraically
E020 - Über die Summation von unzähligen Progressionen
E025 - A general Method of Summing Progressions
E031 - Konstruktion der Differentialgleichung \( ax^n dx = dy + y^2 dx\)
E041 - Über die Summen reziproker Reihen
E041 - On the sums of series of reciprocals
E043 - Beobachtungen über harmonische Progressionen
E043 - Observations on harmonic Progressions
E047 - Das Finden einer jeden Summe einer Reihe aus dem gegebenen allgemeinen Term
E051 - Über die Konstruktion von Gleichungen mit Hilfe von Schleppbewegung und anderen sich auf die inverse Methode der Tangenten beziehenden Dinge
E052 - Lösung der Probleme, die die Rektifikation der Ellipse erfordern
E053 - Lösung eines sich auf die "Geometria situs" beziehenden Problems
E055 - Die allgemeine Methode Reihen zu summieren - weiterentwickelt
E055 - The universal Method to sum series further promoted
E059 - Theorems on the reduction of integral formulas to the quadrature of the cirlce
E060 - Über das Finden von Integralen, wenn nach der Integration der variablen Größe ein bestimmter Wert zugeteilt wird
E061 - Eine andere Dissertation über die Summen der aus den Potenzen der natürlichen Zahlen entspringenden Reihen, in welcher dieselben Summationen aus einer gänzlich anderen Quelle deriviert werden
E061 - Another Dissertation on the sums of the series of reciprocals arising from the powers of the natural
numbers, in which the same summations are derived from a completely difference source
E062 - Über die Integration von Differentialgleichungen höherer Grade
E062 - On the integration of differential equations of higher orders
E071 - Eine Dissertation über Kettenbrüche
E072 - Verschiedene Bemerkungen über unendliche Reihen
E098 - Beweise bestimmter zahlentheoretischer Probleme
E119 - Treatise on the vibration of chords
E122 - Über aus unendlich vielen Faktoren entspringende Produkte
E122 - On Products arising from infinitely many factors
E123 - Beobachtungen über die Kettenbrüche
E123 - Observations on continued fractions
E130 - Betrachtungen über gewisse Reihen
E130 - Considerations on certain series
E152 - Über befreundete Zahlen
E164 - Theoreme über die in dieser Form paa ± qbb enthaltenen Teiler von Zahlen
E188 - Die Methode Differentialgleichungen höherer Grade zu integrieren weiter entwickelt
E189 - Über die Bestimmung von Reihen oder eine neue Methode, die allgemeinen Terme von Reihen
zu finden
E189 - On the Determination of Series or a new Method to find the General Terms of Series
E190 - Consideration of certain series having singular properties
E191 - Über die Partition von Zahlen
E191 - On the partition of numbers
E212
Kapitel 1 - On the transformation of series
Kapitel 2 - On the investigation of summable series
Kapitel 3 - On Finding finite differences
Kapitel 4 - On the Conversion of Functions into Series
Kapitel 5 - Investigation of the sum of series from the general Term
Kapitel 6 - On the Summation of Progressions by means of infinite Series
Kapitel 7 - A further Generalization of the summation method treated in chapter V
Kapitel 8 - On the Use of Differential Calculus in the Formation of Series
Kapitel 9 - On the use of Differential Calculus in the resolution of Equations
Kapitel 10 - On Maxima and Minima
Kapitel 11 - On Maxima and Minima of multiform functions and such containing several variables
Kapitel 12 - On the Use of Differentials in the Investigation of the real Roots of Equations
Kapitel 13 - On Criteria for imaginary roots
Kapitel 14 - On Differentials of Functions in only certain cases
Kapitel 15 - On the values of functions which in certain cases seem to be undetermined
Kapitel 16 - On the Differentiation of inexplicable Functions
Kapitel 17 - On the Interpolation of series
Kapitel 18 - On the use of Differential Calculus in the Resolution of Fractions
E228 - Über Zahlen, die Aggregate zweier Quadrate sind
E230 - Elemente der Lehre von Festkörpern
E231 - Beweis einiger vortrefflicher Eigenschaften, mit denen von ebenen Seitenflächen eingeschlossene Festkörper versehen sind
E241 - Beweis des Fermat'schen Lehrsatzes, dass jede Primzahl der Form \( 4n + 1 \) die Summe zweier Quadrate ist
E242 - Beweis des Fermat'schen Lehrsatzes, dass jede entweder ganze oder gebrochene Zahl die Summe von vier oder weniger Quadraten ist
E247 - Über divergente Reihen
E247 - On divergent series
E251 - Über die Integration der Differentialgleichung \( \frac{mdx}{\sqrt{1-x^4}} = \frac{ndy}{\sqrt{1-y^4}} \)
E252 - Beobachtungen über den Vergleich von Bögen irrektifizierbarer Kurven
E252 - Observations on the Comparison of
Arcs of irrectifiable curves
E254 - On the expression of integrals by means of factors
E255 - General Solution of certain Diophantine problems which usually seem to admit only special Solutions
E258 - Prinzipien der Bewegung von Fluiden
E261 - Ein anderes Beispiel der neuen Methode transzendente Größen miteinander zu vergleichen - Über den Vergleich von Ellipsenbogen
E261 - Another Specimen of the new Method to compare transcendental Quantities to each other - On the Comparison of the Arcs of an Ellipse
E265 - Über Differentialgleichungen zweiten Grades
E269 - On the Integration of Differential Equations
E271 - Zahlentheoretische Theoreme, mit einer neuen Methode bewiesen
E273 - Betrachtung von Formeln, deren Integration mithilfe von Kegelschnitten durchgeführt werden kann
E274 - Die Konstruktion der Differenzen-Differentialgleichung Aydu2 + (B + Cu)dudy + (D + Eu + Fuu)ddy = 0 für konstant angenommenes Element du
E275 - Bemerkungen zu einem gewissen Auszug des Descartes, der sich auf die Quadratur des Kreises bezieht
E280 - Über Progressionen von Kreisbogen, deren Tangenten nach einem gewissen Gesetz fortschreiten
E281 - Ein Beispiel für einen einzigartigen Algorithmus
E285 - Investigation of Functions from a given condition of the differentials
E295 - Über die Rückführung von Integralformeln auf die Rektifikation der Ellipse und der Hyperbel
E296 - Elemente des Variationskalküls
E296 - Elements of the Calculus of Variations
E297 - Analytische Erläuterungen der Methode der Maxima und Minima
- Teil A Deutsch
- Teil A Englisch
- Teil B Deutsch
- Teil B Englisch
E301 - On the motion of bodies attracted to two fixed centres of force
E321 - Beobachtungen über die Integrale der Formeln \( \int x^{p-1} dx (1 - x^n)^{\frac{q}{n}-1} \) nachdem nach der Integration \( x = 1 \) gesetzt worden ist
E321 - Observations on the integral of the formulas \( \int x^{p-1} dx (1 - x^n)^{\frac{q}{n}-1} \) having put x = 1 after the integration
E323 - Über den Gebrauch des neuen Algorithmus' beim Lösen des Pell'schen Problems
E324 - Eigenschaften von Dreiecken, deren Winkel in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen
E325 - Leichte Lösung gewisser sehr schwieriger geometrischer Probleme
E326 - Analytical Observations
E345 - Integration der Gleichung \( \frac{dx}{\sqrt{A+Bx+Cx^2+Dx^3+Ex^4}} = \frac{dy}{\sqrt{A+By+Cy^2+Dy^3+Ey^4}} \)
E345 - Integration of the Equation dx√ A+Bx+Cx2+Dx3+Ex4 = dy √A+By+Cy2+Dy3+Ey4
E347 - More general Discussion of the Formulas serving for the comparison of curves
E352 - Bemerkung über die wunderbare Relation zwischen der Reihe der direkten und reziproken Potenzen
E366 - Über die Konstruktion von Differenzen-Differentialgleichungen mit Quadraturen der Kurven
E368 - On the hypergeometric Curve expressed by the equation
E385
Kapitel 1 - Über das Variationskalkül im Allgemeinen
Kapitel 2 - Über die Variation zwei Variablen involvierender Differentialformeln
Kapitel 4 - Über die Variation zwei Variablen involvierender zusammengesetzter Integralformeln
Kapitel 5 - Über die Variation drei Variablen involvierender und zwei Relationen verwickelnder Integralformeln
Kapitel 6 - Über die Variation drei Variablen involvierender Differentialformeln, deren Relation in einer einzigen Gleichung enthalten ist
Kapitel 7 - Über die Variation drei Variablen involvierender Integralformeln, von denen eine wie eine Funktion der zwei übrigen angesehen wird
E390 - Betrachtungen über orthogonale Trajektorien
E391 - Über Doppelintegrale
E392 - Entwicklung eines außerordentlichen Paradoxons über die Gleichheit von Flächen
E393 - Über Summen, deren Reihen die Bernoulli-Zahlen involvieren
E394 - Über die Partition von Zahlen in so von der Anzahl wie von der Gattung her gegebene Teile
E396 - Zweiter Abschnitt über die Grundsätze der Bewegung von Fluiden
E408 - Über rektifizierbare Kurven auf einer Kugeloberfläche
E419 - Über Körper, deren Oberfläche sich in die Ebene ausbreiten lassen
E419 - On Solids whose surface can be unfolded onto a plane
E420 - Eine neue und leichte Methode die Variationsrechnung zu behandeln
E421 - Entwicklung der Integralformel \( \int x^{f-1} DX (lnx)^{\frac{m}{n}} \) nach Erstreckung der Integration vom Wert \( x = 0 \) bis zu \( x = 1 \)
E421 - Expansion of the integral formula \( \int x^{f-1} DX (lnx)^{\frac{m}{n}} \) having extended the integration
from the value \( x = 0 \) to \( x = 1 \)
E422 - Entwicklung eines völlig einzigartigen geometrischen Problems
E429 - On various kinds of integrability
E431 - Consideration of the Difference-Differential equation
E432 - Analytische Übungen
E432 - Analytical Exercises
E439 - Further Investigation on vibrating chords
E445 - Neue Beweise über die Auflösung von Zahlen in Quadrate
E447 - Summation der Progressionen ...
E447 - Summation of the progressions … (englischer Text)
E448 - Eine neue unendliche Reihe, die sehr stark konvergiert und die Perimetrie einer Ellipse ausdrückt
E450 - A new way to express irrational quantities approximately
E454 - Über die Auflösung von Irrationalitäten durch Kettenbrüche, wo zugleich eine gewisse neue und einzigartige Gattung des Minimums dargestellt wird
E463 - Über den Wert der Integralformel zlwzl+w 1z2l dz z (ln z)m in dem Fall, in dem nach Integration z = 1 gesetzt wird
E464 - Eine neue Methode Integralgrößen zu bestimmen
E465 - Beweis des Newton'schen Lehrsatzes über die Entwicklung der Potenzen des Binoms für die Fälle, in denen die Exponenten keine ganzen Zahlen sind
E 465 - Proof of the Newtonian Theorem on the Expansion of the Powers of the Binomial for the cases in which the Exponents are not integer numbers
E477 - Gedanken über ein einzigartiges Geschlecht von Reihen
E477 - Meditations on a singular kind of series
E488 - Bemerkungen zur vorausgehenden Dissertation des illustren Bernoulli
E489 - Über iterierte Exponentialformeln
E490 - Über die Repräsentation einer sphärischen Oberfläche auf einer Ebene
E491 - Über die geographische Projektion einer sphärischen Oberfläche
E492 - Über die von De Lisle gebrauchte geographische Projektion bei der gesamten Karte des russischen Reichs
E499 - On the Integration of the Formula ∫ dx log x / √1-xx extended from x = 0 to x = 1
E500 - Über den Wert der von der Grenze \(x=0 \) bis hin zu \(x=1\) erstreckten Integralformal \( \int \frac{x^{a-1}dx}{ln \,x} \frac{(1-x^b)(1-x^c)}{1-x^n} \)
E506 - Erläuterungen zur höchst eleganten Methode, welche der illustre Lagrange beim Integrieren der Differentialgleichung dx/√X = dy/√Y verwendet hat
E513 - Über Dreieckskurven
E514 - Über das Maß von Raumwinkeln
E522 - Über die Bildung von Kettenbrüchen
E522 - On the formation of continued fractions
E524 - Die allgemeine sphärische Trigonometrie unmittelbar aus ersten Prinzipien abgeleitet
E532 - Über die Lambert’sche Reihe und ihre vielen vorzüglichen Eigenschaften
E539 - Ein Supplement zum Integralkalkül für die Integration irrationaler Formeln
E540 - Eine neue Methode beliebige rationale Brüche in einfache Brüche aufzulösen
E541 - Entwicklung des unendlichen Produkts \( (1-x)(1-xx)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6) \) etc. in eine einfache Reihe
E550 - Über Reihen, in denen die Produkte aus je zwei benachbarten Termen eine gegebene Progression festlegen
E551 - Various Artifices to investigate the Nature of Series
E552 - Bemerkungen über die Division von Quadraten durch Primzahlen
E553 - Analytische Bemerkungen
E555 - Über den außerordentlichen Nutzen der Interpolationsmethode in der Lehre der Reihen
E555 - On the extraordinary use of the method of Interpolation in the doctrine of Series
E562 - How Sines and Cosines of multiple angles can be expressed by Products
E565 - Über die vielen transzendenten Größen, die sich in keiner Weise mit Integralformeln ausdrücken lassen
E575 - On the remarkable Properties of the Coefficients which occur in the Expansion
of the binomial raised to an arbitrary power
E581 - Eine umfassendere Darstellung des Vergleiches der in der Integralformel \( \int \frac{Zdz}{\sqrt{1+mzz+nz^4}} \) enthaltenen Größen, während \( Z \) irgendeine rationale Funktion \( zz \) bezeichnet
E581 - More Complete Explanation of the Comparison of Quantities contained in the Integral formula
R p Zdz 1+mzz+n4 while Z denotes any rational function of zz
E583 - Über die bemerkenswerte Zahl, die bei der Summation der natürlichen harmonischen Progression auftaucht
E583 - On the memorable number occurring in the summation of the natural harmonic Progression
E587 - Bemerkungen zu einigen Lehrsätzen des höchst illustren Lagrange
E588 - Investigation of the integral Formula∫((x^(m-1) dx)/(1+x^(k)n) ) in the case in which one set x = ¥ after the integration
E589 - Investigation of the Value of the Integral ∫xm-1dx\1-2xk cosq+x2k extended from x = 0 to x = ¥
E592 - Über die Auflösung von transzendenten Brüchen in unendlich viele einfache Brüche
E593 - Über die Transformation von Reihen in Kettenbrüche, wo zugleich die Theorie nicht unwesentlich erweitert wird
E594 - Eine Methode Integralformen zu finden, die in gewissen Fällen in einem gegebenen Verhältnis zueinander stehen, wo zugleich eine Methode angegeben wird, Kettenbrüche zu summieren
E594 - A Method of Finding Integral Formulas which in certain Cases have a given ratio, where at the same time a method of summing continued fractions is presented
E595 - Summation des Kettenbruches, dessen Indizes eine arithmetische Progression festlegen, während alle Zähler Einheiten sind, wo zugleich die Auflösung der Riccati-Gleichung durch Brüche
von dieser Art gelehrt wird
E598 - Über einen gewaltigen Fortschritt in der Zahlentheorie
E602 - Eine leichte Methode alle Eigenschaften von Raumkurven zu finden
E605 - Über die wundersamen Eigenschaften der Curvae elasticae, die in der Gleichung \( y = \int \frac{xx\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}} \) enthalten ist
E606 - Spekulation über die Integralformel \( \int \frac{x^n \mathrm{d}x}{\sqrt{aa-2bx+cxx}} \), wo zugleich herausragende Beobachtungen über Kettenbrüche entstehen
E606 - Speculations on the integral formulaR xndx √aa−2bx−cxx where at the same time extraordinary observations on continued fractions occur
E609 - Betrachtungen über orthogonale wie schiefwinklige Trajektorien
E613 - Erläuternde Darstellungen zu den letzten Kapiteln meines Buches "Institutiones Calculi Differentialis" über unerklärbare Funktionen
E613 - Further Explanations to the last Chapter of my book Calculi Differentialis on inexplicable functions
E616 - Über die Transformation der divergenten Reihe \( 1 - mx + m (m+n)x^2-m(m+n)(m+2n)x^3 + \) etc. in einen Kettenbruch
E616 - On the transformation of the divergent series 1−mx +m(m+n )x2−m(m+n)(m+2n)x3 +etc. into a continued fraction
E617 - Über die Summation von Reihen, in denen die Vorzeichen der Terme alternieren
E620 - Eine leichte Methode, das Integral ∂x x · xn+p−2xn cos ζ+xn−p x2n−2xn cos θ+1 im Fall zu finden, in welchem nach der Integration entweder x = 1 oder x = ∞ gesetzt wird
E621 - Über den immensen Nutzen des Kalküls imaginärer Größen in der Analysis
E629 - Entwicklung der von der Grenze \( x = 0 \) bis hin zu \( x = 1 \) erstreckten Integralformel \( \int \partial x \left( \frac{1}{1-x} + \frac{1}{\log x} \right) \)
E637 - Ein neuer Beweis, dass die Newtonsche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt
E652 - Über den allgemeinen Term der hypergeometrischen Reihen
E652 - On the general Term of hypergeometric Series
E655 - Beobachtung über Reihen, deren Terme nach den Sinus oder Kosinus vielfacher Winkel fortschreiten
E656 - Über höchst bemerkenswerte aus dem Kalkül der imaginären Größen herstammende Integrationen
E661 - Verschiedene Betrachtungen über hypergeometrische Reihen
E661 - Various Consideration on hypergeometric Series
E662 - On the true Value of the integral formula ∂ x log 1 xn extended from the limit x = 0 to x = 1
E663 - Eine umfassendere Darstellung jener merkwürdigen Reihen, die aus den Koeffizienten der Potenzen des Binoms gebildet werden
E663 - A more complete Explanation of those memorable series which are formed from the binomial coefficients
E664 - Eine analytische Übung
E684 - Über die Wurzeln der unendlichen Gleichung 0=1 - x^2 / n(n+1) + x^4 / n(n+1)(n+2)(n+3) -
x^6 / n ... (n+5) + etc.
E700 - On differential formulas of second degree that admit an integration
E671 - Über höchst irrationale von Winkeln abhängige Differentialformeln, welche sich dennoch mit Logarithmen und Kreisbogen integrieren lassen
E672 - Ein höchst bemerkenswertes Theorem über die Integralformel
E673 - Eine auf Vermutungen beruhende Untersuchung über die Integralformel
E674 - Beweis des über eine Vermutung gefundenen außerordentlichen Theorems über die Integration der
Formel
E675 - Über die Werte der von der Grenze der Variable x = 0 bis hin zu x = ∞ erstreckten Integrale
E676 - Eine kürzere Methode die Vergleiche der in der Form ... enthaltenen transzendenten Größen zu finden
E678 - A new Method to investigate the cases, in which it is possible to solve the difference-differential equation (1 - )- - ^2= 0
E681 - Ein Beispiel von Differentialgleichungen unbestimmten Grades und deren Interpolation
E694 - Eine weitere Untersuchung über imaginäre Integralformeln
E704 - Weitere Untersuchungen über die Reihen, die nach den Vielfachen eines Winkels fortschreiten
E707 - Über den außerordentlichen Nutzen des Kalküls mit imaginären Größen in der Integralrechnung
E710 - Beweis einer einzigartigen Transformation von Reihen
E710 - A specimen of a singular transformation of series
E722 - Analytische Untersuchungen über die Entwicklung der Trinomialpotenz \( (1 + x + xx) \)
E722 - Analytical Investigations on the Expansion of the trinomial Power (1+ x + xx)n
E726 - Beweis des ausgezeichneten numerischen Theorems über die Koeffizienten der Binomialpotenzen
E734 - Integration dieser Differentialgleichung \(dy + yydx = \frac{Adx}{(a+bx+cxx)^2}\)
E736 - Über die Summation der Reihen, die in dieser Form enthalten sind \( \frac{a}{1}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^3}{9}+\frac{a^4}{16}+\frac{a^5}{25}+\frac{a^6}{36}+etc\)
E736 - On the Summation of the series contained in this form \( \frac{a}{1}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^3}{9}+\frac{a^4}{16}+\frac{a^5}{25}+\frac{a^6}{36}+etc\)
E740 - Über nicht in derselben Ebene gelegene gekrümmte Linien, die mit der Eigenschaft des Maximums oder Minimums versehen sind
E742 - Bemerkungen über die in dieser Form enthaltenen Kettenbrüche
E743 - Über eine höchst bemerkenswerte Reihe, mit welcher jede Binomialpotenz ausgedrückt werden kann
E745 - Über die Kettenbrüche von Wallis
E745 - On Wallis’ continued fractions
E746 - Eine kurze Methode, Summen unendlicher Reihen durch Differentialformeln zu untersuchen
E750 - Ein Kommentar zum Kettenbruch, mit welchem der bedeutende Lagrange die Binomialpotenzen ausgedrückt hat
E751 - Leichte Analysis, die Riccati-Gleichung durch einen Kettenbruch aufzulösen
E752 - Über gewisse sehr schwer zu findende Integrale
E768 - On the Binomial Coefficients and their Interpolation
E814 - Abschnitt III der Grundlagen des Differentialkalküls