This is the Homepage for the course Lineare Algebra II (BSc), given in Mainz during the Winter 2016. If you're taking this course, please enroll on Jogustine.
Exam:
1) If you would like to take the oral exam, please register for the exam on Jogustine before January 23rd, 13h. If you have any problems, please contact Frau Jung.
2) From February 13th until February 16th you can make an appointment (not via e-mail) for the oral exam. Please go see Frau Jung in her office to make an appointment during her Sprechstunden from 10h-12h.
3) The oral exams will take place on March 7th, March 8th, March 9th, and March 10th.
Practical information
Teacher: Ariyan Javanpeykar
Exercise sessions: Philippe Licht and Robert Wilms
Course: Tuesday 8-10h, Thursday 8h-10h
Room: 05-514
Course description
The topics discussed in this course are:
- Eigenvalues and characteristic polynomials,
- The Jordan normalform,
- Euclidean and unitary vector spaces,
- Infinite-dimensional vector spaces and duality, and
- The structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain
References
There are several good course notes out there. We list some of these below here.
- Theo de Jong's book on Linear Algebra. Click here
- Stoll's LAG 2 notes
- Stix's LAG notes
- Stix's notes on Algebra
- Stix's notes on Geometrie.
There will be no Syllabus (i.e. Skript) available for this course. We recommend everyone to take notes of the lectures.
Homework
Every homework sheet consists of precisely three exercises. Every exercise is worth precisely 4 points.
Um für die Klausur zugelassen zu werden, müssen Sie insgesamt mindestens 72 Punkte erreichen. (Total = 13x12 =156). Sie müssen auch Drei der Vier Kurztests bestehen.
- To be handed in 2016 Nov 4th. Blatt 1
- To be handed in 2016 Nov. 11th. Blatt 2
- To be handed in 2016 Nov. 18th. Blatt 3
- To be handed in 2016 Nov. 25th. Blatt 4
- To be handed in 2016 Dec 2nd. Blatt 5
- To be handed in 2016 Dec. 9th. Blatt 6
- To be handed in 2016 Dec. 16th. Blatt 7
- To be handed in 2016 Dec. 23rd. Blatt 8
- To be handed in 2017 Jan. 13th. Blatt 9
- To be handed in 2017 Jan. 20th. Blatt 10
- To be handed in 2017 Jan. 27th. Blatt 11
- To be handed in 2017 Feb. 3rd. Blatt 12
- To be handed in 2017 Feb 10th. Blatt 13
Kurztests
There will be four mini-tests given.
- Test 1: November 3 (Grades: Click here)
- Test 2: November 24 (Grades: Click here)
- Test 3: December 20 (Grades: Click here)
- Test 4: February 7th (Grades: Click here)
Schedule
- Tu. Oct. 25th. Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom, Fundamentalsatz der Algebra (ohne Beweis), algebraisch abgeschlossene Korper, Eigenwerten sind genau die Nullstelle van dem charakteristischen Polynom (Satz 1.1).
- Th. Oct. 27th. Trigonalisierbarkeit (Satz 1.3): Char. Pol. von phi zerfallt in Linearfaktoren genau dann wenn es eine Basis gibt so dass die Darstellende Matrix von phi obere Dreiecksgestalt hat. Nilpotente Endomorphismen (Proposition 1.4) und deren charakteristischen Polynome. Diagonalisierbarkeit und Proposition 1.6: phi ist diagonalisierbar genau dann wenn es eine Basis gibt fur V aus Eigenvektoren von phi.
- Th. Nov 3rd. Cayley-Hamilton (erstes Beweis). Polynomringe. Kurztest.
- Tu. Nov. 8th. Minimalpolynom, algebraische multiplizitat, geometrische multiplizitat, zweites Beweis Cayley-Hamilton. Kurztest 1
- Th. Nov. 10th. Spaltungssatz, diagonalisierbare matrizen und minimalpolynomen. Hauptraume.
- Tu. Nov. 15th. Jordan Zerlegung. Jordan Basis fuer Nilpotente endomorphismen. Jordan Normalform. Wie bestimme ich eine Jordan Basis?
- Th. Nov. 17th Definitionen: Euklidische raume, lineare isometrie, orthogonale Abbildungen, unitare raume, Skalarproductraume, Orthogonal Komplement, Orthogonalbasis (ONB), Proposition 3.4: Wenn V endlich-dim'le Skalarproductraum, dann hat V ein ONB.
- Tu. Nov 22nd. Unterraumen von Skalarproduktraumen und orthogonale projektion. Cauchy-Schwarz. Dreiecks-Ungleichung. Orthogonale Abbildungen. Abbildung f is orthogonal genau dann wenn f(0) =0 und f ist Abstandserhaltend. Matrizen von orthogonale Abbildungen und unitare Abbildungen.
- Th. Nov. 24th. Matrizen von orthogonale Abbildungen und unitare Abbildungen. O(n), U(n), SO(n), und SU(n). Determinant von A in O(n) und A in U(n). Eigenwerten von A in O(n) und A in U(n). Jede orthogonale Abbildung f:R^3->R^3 mit det(f) = 1 hat einen Fixpunkt. Spektralsatz fur unitare Automorphismen. Kurztest 2 8:15h
- Tu. Nov. 29th. Spektralsatz fur orthogonale Abbildungen R^n -> R^n. Beweis benutzt komplexifizierung reelle vektorraum. Gram-Schmidt-Verfahren. Adjungierte abbildungen und Eindeutigkeit. Existenz von adjungierte fur endomorphismen von endlich-dim'le Skalarproduktraumen. Beispiel: adjungierte existiert nicht immer.
- Th. Dec. 1st. Beispiel adjungierte Abbildungen. Normale endomorphismen, Spektralsatz fur selbst-adjungierte endomorphismen. Spektraksatz fur normale endomorphismen. Quadratische Formen und Symmetrische Bilinearformen (falls char(K) nicht 2).
- Tu. Dec. 6th Hauptachsentransformationen. Sylvester's Tragheitssatz.
- Th. Dec. 8th. Quadriken und Affine Isometrien.
- Tu. Dec. 13th. Jeder endlich erzeugte K-vectorraum hat eine Basis. Intermezzo: Abzahlbarkeit, Kardinalzahlen, Auswahlaxiom, Zornscher Lemma. Satz: Jede K-vectorraum hat eine Basis.
- Th. Dec. 15th. Der Dualraum. Die kanonische Abbildung V -> V** ist injectiv. Duale Basis (falls V endlich-dim'l). V ist isomorph zum V** falls V endlich dim'l. Bil(V) = Hom(V,V*).
- Tu. Dec. 20th. Was sind Quotienten? Kurztest 3 8:15h
- Th. Dec 22nd. Komplexen, Exakte Sequenze, Kurz exakte sequenze von K-VR'n sind gespaltet, Dualisieren von exacte sequenzen von K-VR'n.
- Tu. Jan. 10th. NO LECTURE.
- Th. Jan 12th. Gruppe, Homomorphismen, Produkten, Untergruppen, Normalteilers, Symmetrische Gruppe S_n, Quotienten, Homomorphiesatz, Zyklische gruppen sind isomorph zum Z/mZ.
- Tu. Jan. 17th. Beweis Homomorphiesatz. Untergruppen von Z sind mZ (mit beweis). Endlich erzeugte gruppen. Elementarteilersatz (beweis spaeter). Beispielen: Kurz exakte sequenze mit zyklische Gruppen. Viergruppe von Klein. Hamilton quaternionen.
- Th. Jan 19th. Zerfallende kurze exakte sequenzen von abelsche Gruppen, Schnitte, Retraktionen, Kurze exakte Sequenze 0->A->B->C->0 mit C zyklisch (Beweis nachste mal), Beispiel: Z/6Z und Z/8Z, .
- Tu. Jan 24th. Kurz exakte sequenz 0->A->B->C->0 mit A,B,C endlich zerfallt genau dann wenn ord(A) und ord(C) koprim sind. Freie Abelsche Gruppen.
- Th. Jan 26th. Untergruppen von Z^n sind frei. Beispiel: {(x,y,z) in Z^3 | 4x+y+3z =0 mod 6}, A endlich erzeugte Gruppe ohne Torsion ist frei von endliche Rang, diskrete untergruppe von R^n sind frei von rang k < n+1. Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe A ist isomorph zum A_{tor}+Z^r.
- Tu. Jan. 31st NO LECTURE.
- Th. Feb. 2nd. Elementarteilersatz: struktur von endliche abelsche gruppe
- Tu. Feb. 7th. Kurztest 4 8:15h
- Th. Feb. 9th.