Zahl und Bild

In diesem Hauptseminar geht es darum ein visuell ansprechendes Bild zu erzeugen, in welchem ein mathematischer Inhalt dargestellt wird. Es folgen die von den Studierenden erzeugten Ergebnisse der vergangenen Semester.

Wintersemester 2016/17


Marius Kling und Sebastian Hassemer: Schmidtsche Kreiskonfigurationen

Disselhof Schweizer: Schottky Gruppen

Krummek Nutz Vosen: Nullstellen von Littlewoodpolynomen

 

Wintersemester 2015/16


Sven Partenheimer und Daniel Schisch: Complex

 

In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion
\[f(x) = \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{x^{11}-1}{x-1} \]
dargestellt. An dem Graphen sind, abgesehen von der \(y\)-Achse als vertikaler Asymptote, nicht viele Eigenschaften dieser
Funktion ablesbar.

Dies ändert sich, wenn man statt des reellen Zahlenstrahls die komplexe Zahlenebene \(\mathbb{C}\) betrachtet, deren Elemente sich als \(x=a+ib\), wobei \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind, schreiben lassen. Diese komplexe Zahl \(x\) entspricht dann dem Punkt der Zeichenebene mit Koordinaten \((a,b)\). Man rechnet mit komplexen Zahlen wie üblich unter Verwendung der Regel \(i^2=-1\). Beim Versuch den Graphen einer komplexen Funktion zu realisieren stößt man allerdings auf das Problem, dass dazu 4 Dimensionen nötig sind.
Eine Lösung dieses Darstellungsproblems wird auf dem ausgestellten Poster gezeigt. Die Idee dabei ist es, den Funktionswert \(f(x)\) nicht nach oben abzutragen, sondern durch eine Farbe zu kennzeichnen: Jeder komplexen Zahl wird zunächst, abhängig von der Richtung bezüglich des Koordinatenursprungs, eine Farbe gemäß nebenstehender Farbskala zugeordnet. Nun färbt man die Zahl \(x\) der komplexen Zahlenebene mit der Farbe des Bildpunktes \(f(x) \in \mathbb{C}\) ein.

Tut man dies für die oben beschriebene Funktion \(f(x)\) -- und fügt noch sinnvoll Schattierungen hinzu -- so ergibt sich das auf dem Poster dargestellte Bild. Am fünffachen Durchlaufen des Farbkreises in umgekehrter Reihenfolge ist nun die fünffache Polstelle am Nullpunkt, welche vom Faktor \(1/x^5\) stammt, deutlich zu erkennen. Ebenso deutlich lassen sich die 10 kreisförmig angeordneten, einfachen Nullstellen ausmachen. Ausgenommen die 1, liegen diese gerade auf den Eckpunkten eines dem Einheitskreises einbeschriebenen, regelmäßigen 11-Ecks. Es sind gerade die Nullstellen des 11. Kreisteilungspolynoms
\[
\frac{x^{11}-1}{x-1}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10},
\]
welches der zweite Faktor unserer Funktion \(f(x)\) ist. Und dass am Rande des Bildes der Farbkreis noch fünf weitere Male durchlaufen wird, ist auch kein Zufall.

Visualisierung einer komplexen Funktion

 

Nina Kissinger und Timo Stockhausen: Zwillingsdrachenkurve

 

Die nebenstehende Grafik stellt den Baum des Pythagoras dar, der zur den Fraktalen zählt. Den Ursprung der Figur bildet die bekannte Darstellung zum Satz des Pythagoras, die aus einem rechtwinkligen Dreieck und den an den Kanten anliegenden Quadraten mit entsprechender Kantenlänge besteht.

Der Baum entsteht nun aus dem Häuschen mit Dach (das untere Quadrat mit dem rechtwinklige Dreieck als Dach), indem man auf die Dachseiten das Häuschen entsprechend verkleinert immer wieder aufsetzt. Nach 10 Wiederholungen diese Prozesses entsteht die rechts dargestellte Figur.

Variiert man diesen Prozess ein wenig, indem man auf der rechten Dachseite das Häuschen wie üblich aufsetzt, auf der linken Dachseite das Häuschen aber um 90 Grad nach links gedreht aufgesetzt, so erhält man man 15 Wiederholungen das auf dem Poster dargestellte Gebilde. Die dabei entstehende Randkurve wird interessanterweise wiederum durch ein anderes Fraktal angenähert: den sogenannten Zwillingsdrachen. Dieser entsteht aus einer Dopplung der Drachenkurve und ist in der kleinen Grafik rechts dargestellt.

Die Drachenkurve selbst ist eine raumfüllende Kurve und bildet sich über den unten abgebildeten Prozess. Diese Drachenkurve kann man auch durch Papierfalten erhalten, indem man einen Streifen Papier wiederholt in der Mitte faltet und danach wieder so auffaltet, dass die Falze einen rechten Winkel bilden. Probieren Sie es aus.

Zwillingsdrache

 

 Irina Alberg und Laura Herbst: Teilbarkeit im Pascalschen Dreieck

 

Das Pascalsche Dreieck entsteht, indem man entlang der Ränder eines Dreiecks die 1 schreibt und dann das Dreieck so auffüllt, dass jeder Eintrag gerade die Summe der direkt darüber stehenden Einträge ist. Das Pascalsche Dreieck spielt in vielen Bereichen der Mathematik eine Rolle und es versteckt sich viel Interessantes darin (einfach mal die Zeilen summieren und schauen, was rauskommt).

In der obenstehenden Grafik ist das Pascalsche Dreieck von der 0-ten bis zur 10-ten Zeile dargestellt. Dabei wurden alle ungeraden Einträge grau und alle geraden Einträge weiß hinterlegt. Das entstehende Muster erinnert an das sogenannte Sierpińksi-Dreieck.

Der Entstehungsprozess des Sierpińksi-Dreiecks ist auf der linken Hälfte des Posters zu sehen. Die blauen Bereiche entsprechen dann wie oben angedeutet genau den ungeraden Zahlen. Die Figur auf der rechten Hälfte des Posters entsteht auf ähnliche Art und Weise, indem die nicht durch 3 teilbaren Zahlen des Pascalschen Dreiecks grün gekennzeichnet werden.

Beim Überschneiden der beiden Figuren entsteht ein neues Muster, das man als diejenigen Einträge des Pascalschen Dreiecks deutet, die nicht durch 3 oder nicht durch 2 teilbar sind. Die freigelassenen Bereiche entsprechen folglich denjenigen Zahlen, die durch 6 teilbar sind. Es erscheint also eine bildliche Darstellung des sogenannten Chinesischen Restsatzes, der besagt: Sind \(a\) und \(b\) zwei Zahlen, die keinen gemeinsamen Teiler haben, so wird eine Zahl genau dann vom Produkt \(ab\) geteilt, wenn sowohl \(a\) als auch \(b\) diese Zahl teilen.

PascalDreieck_klein

 

Julia Gemmer und Björn Eder: Eisensteinprimzahlen

 

Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl, welche sich nicht als Produkt von kleineren Zahlen schreiben lässt. So sind zum Beispiel \(6=2\cdot 3\) oder \(100=5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2\) keine Primzahlen, und \(3,5,7\) oder \(101\) sind Primzahlen. Die Bedeutung von Primzahlen rührt von der Tatsache, dass sich jede ganze Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben lässt: Dies ist der Fundamentalsatz der Arithmetik. Primzahlen sind also die kleinsten Bauteile, die Atome, der ganzen Zahlen. Die Erforschung von Primzahlen birgt viele einfach zu stellende Fragen, deren Antwort zum Teil bis heute noch nicht gefunden werden konnten.

Erweitert man die ganzen Zahlen um eine weitere ,,Zahl'' $\omega$, welche die Rechenregel \((1+ \omega)=-\omega^2\) befolgt, so erhält man die \textbf{Eisensteinzahlen}. Bildlich kann man sich diese wie nebenstehend als Punkte in der Ebene vorstellen. Addiert werden Eisensteinzahlen wie Vektoren in der Ebene. Man kann Eisensteinzahlen aber auch multiplizeren: Zum Beispiel gilt
\[
(2+\omega)\cdot(1-\omega) =2-2\omega+\omega-\omega^2 =2-\omega+(1+\omega) =3
\]
unter Verwendung der Rechenregel \(-\omega^2=(1+ \omega)\) für die mysteriöse Zahl \(\omega\). Diese Rechnung zeigt, dass die Primzahl 3 in den Eisensteinzahlen in das Produkt \(3=(2+\omega) \cdot (1-\omega)\) zerfällt, also dort gar keine Primzahl mehr ist! Tatsächlich geht dies auf verschiedene Arten und Weisen -- alle möglichen echten Primteiler von 3 sind in der Grafik blau dargestellt. Die Teiler der 7 sind in grün dargestellt.

Das dunkle Poster zeigt die Primzahlen in den Eisensteinzahlen. Die roten Punkte gehören dabei zu den Primzahlen der ganzen Zahlen, wie zum Beispiel der 2 oder 5, die in den Eisensteinzahlen immer noch Primzahlen sind. Die weißen Punkte sind also die wirklich neuen Eisensteinprimzahlen, also diejenigen, die es in den ganzen Zahlen noch nicht gibt. Die auffällige 6-er Symmetrie kommt durch Multiplikation mit den 6 Einheiten \(1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2\) zustande, welche im kleinen Bild dunkelgrau dargestellt sind.

Das helle Poster zeigt die Primzahlen in dem Zahlkörper \(\mathbb{Q}[\sqrt{3}]\). Der Vergleich der beiden Bilder illustriert die Unterschiede zwischen imaginären und reellen Zahlkörpern

RealQuadratic3_small